这样的一组幂函数，这些基底函数是，它就只能在这个小范围内才能展开成泰勒级数(展开点为x=0)：这个函数的定义域是除了x=1之外的所有实数，但是它的泰勒级数只有在这个范围内才收敛，超过这个范围之后，等号右边的级数发散到无穷大，但是左边仍然是有定义的函数，所以这泰勒级数仅仅在它在整个定义域——实数范围内都收敛且相等。一个周期为的实函数(满足狄利克雷条件)的傅里叶级数为：其中：(想了解这个公式的来历可以点击链接看我之前写过的文章《

这个泰勒级数实际上就是一个特殊的就是泰勒系数，即。

的周期为(即基频率)，并其中，，和是实数形式的傅里叶级数的系数，也就是通过三角函数正交性求出来的那些系数。而且为了后面用到复数的幅角这个角度概念，我们用这个符号作为原函数和傅里叶级数的自变量。

和是一对共轭的复数。

(资料图片仅供参考)

，就相当于同时知道了它的共轭复数，也就得到了整个复指数形式的傅里叶级数。所以，我们可以把关注点放在

，并把它写成类似于幂级数的形式：仔细观察这个形式与上面的泰勒级数的形式，我们不难发现，虽然复指数形式的傅里叶级数是一个复级数，但是它的形式也跟实数函数的泰勒级数(即幂级数)的形式很像，只不过复指数形式的傅里叶级数的幂函数不是，而是，并且括号里面实际上是一个单位圆上的复数。如果我们把当成一个整体，类似于泰勒级数中的x，那么复指数形式的傅里叶级数与泰勒级数就有很大的相似性。

和变量都是复数。

在实数轴上运动的时候(即，相当于沿着角度的射线运动)，复幂级数就变成了上面的泰勒级数的形式。而当，相当于

写成模长和幅角的表示形式，即：其中是复数的模长，是幅角。这样我们就可以把上面这个结论一般化，即：

沿着射线(常数)由原点向外运动，以及让沿着圆周(常数)不断旋转。

这个结论虽然比上面那个结论更具体了一点，但是还是有半点天书的嫌疑。我们用一个具体的例子来解释一下。

(上面用到了欧拉公式，以及复数与它的共轭的乘积等于模长平方的公式，即)

，即关注下面这个：变成了仅关于的函数，我们记为。例如当时：

时：

的分子和分母都含有周期为的正弦函数和余弦函数，所以，它这个整体也是的实函数。

展开成幂级数的形式是一样的)，即：这个复幂级数的收敛范围是，也就是在一个单位圆盘内级数是收敛的。

代入上式右边的复幂级数，并利用欧拉公式，即可得到：

沿着射线

的基础之上令，然后比较级数左右两边的虚部部分，即令两边的虚部相等，然后就轻而易举、不费吹飞之力地得到了

来求解这个函数的泰勒级数表达式，我相信你扛不过3秒便会跪地求饶！别说让你求解在r=0这个点的10阶、20阶导数，就是让你求解2阶或者3阶导数你都会受不了，何况还要求解任意n阶的导数。不信你就试试，这个函数分子分母都有变量r，如果你按照复合函数求导法则求导，复杂度简直不敢想象！

的泰勒级数之后，如果现在让你求解下面这样的式子，那简直就是妥妥的送分题！(你仔细瞅瞅，是不是简单地有点过分！)

，即可得到复幂级数虚部的傅里叶级数，即：

这个圆盘不断旋转时

的泰勒级数的收敛范围是，也就是说只有在x=0这个点的某个邻域内，该函数才能展开成泰勒级数。但是对于傅里叶级数，它不仅仅是在一个点的函数，它在一个周期内(即)都可以展开成傅里叶级数。

，而却能在整个，它的幂级数的收敛范围是单位圆盘，即都只是这个复函数的复变量取特定运动方式(即沿着射线由原点向外运动，以及沿着圆盘不断旋转)之后的结果，所以这两种运动方式当然也要受到复函数的收敛范围(的收敛范围也只能是所对应的运动方式，也就是沿着射线的运动，也在这个圆盘内。

圆盘内。显然，这个旋转角度的范围是从0到，因为单位圆盘的角度范围也是的傅里叶级数的收敛范围也是

如果我们跟它正面硬刚，仅从实函数的角度来思考和求解，那么肯定是无济于事！

，则这个函数是一个周期为的实函数。把它展开成傅里叶级数：其中：这个的表达式已经跟我们要求解的式子非常接近，二者仅仅差了一个常数，所以我们实际上要求解的是。而对于的求解，我们上面已经根据复变量绕一个圆盘(r=1/2)运动的方式观察了复幂级数的虚部，并得到了一个傅里叶级数，这个级数就是的傅里叶级数，即有：现在我们关注这个级数中基底函数为的前面的系数，它等于。直接跟上面那个傅里叶级数比较一下，即可得到：。

你想想看，如果我们在实数域内来硬算这个定积分，那该有多难！幸好，我们还有复数！

沿着射线(常数)由原点向外运动，以及沿着圆周(常数)不断旋转，然后观察相应的复幂级数在这两种运动方式下的表现结果的体现！

参考资料：

复分析：可视化方法，特里斯坦·尼达姆 著，齐民友 译

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